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代数学(だいすうがく、algebra)は数学の一分野で、「代数」 の名の通り数の代わりに文字を用いて方程式の解法を研究する学問として始まった。その意味では代数学という命名は正鵠を射ている。しかし19世紀以降の現代数学においては、ヒルベルトの公理主義やブルバキスタイルに見られるように、代数学はその範囲を大きく広げているため、「数の代わりに文字を用いる数学」とか「方程式の解法の学問」 とかいう理解の仕方は適当ではない。現代数学においては、方程式の研究は方程式論(代数方程式論)という代数学の古典的一分野として捉えられている。

現代代数学は、一般的に代数系を研究する学問分野であると捉えられている。以下に示す代数学の諸分野の名に現れる半群・群・環・多元環(代数)・体・束は代数系がもつ代表的な代数的構造である。

群・環・多元環・体の理論はガロアによる代数方程式の解法の研究などに起源があり、束論はブールによる論理学の数学的研究などに起源がある。

半群は、群・環・多元環・体・束に共通する最も原始的な構造である。

現代日本の大学では、1, 2 年次に微分積分学と並んで、行列論を含む線型代数学を教えるが、線型代数学は線型空間という代数系を対象とすると共に、半群・群・環・多元環・体と密接に関連し、集合論を介して、また公理論であるために論理学を介して、束とも繋がっている。

現代ではまた、代数学的な考え方が解析学・幾何学等にも浸透し、数学の代数化が各方面で進んでいる。その意味で、代数学は数学の諸分野に共通言語を提供する役割も演じている。

◆ 歴史

9世紀のバグダードの数学者アル・フワーリズミー

が著作した 『イルム・アル・ジャブル・ワル・ムカバラ("Ilm al-jabr wa'l-muqabalah")(約分と消約との学=The science of reduction and cancellation)』(820年)を、チェスターのロバート(あるいはバスのアデレード () )が、"Liber algebrae et almucabala"としてラテン語に翻訳した。これが後500年間にわたってヨーロッパの大学で教えられたという。

「al-jabr」は、アラビア語では「al」が定冠詞、「jabr」が「バラバラのものを再結合する」「移項する」という意味であることから、インド数学のことである。

また、アル・フワーリズミーの『インドの数の計算法』は二次方程式、四則演算、十進法、0などの内容でラテン語に翻訳され、著者の名は「アルゴリズム」の語源であるといわれている。

◆ 代数学の諸分野

・ 半群論

・ 群論

・ 環論

・ 体論

・ 線型代数学(線形代数学)

・ 多元環論(cf.リー環論)

・ 束論

・ 代数的整数論(cf.解析的整数論)

・ 不変式論

・ 保型形式論

・: → 表現論、調和解析

・ 可換環論 → 代数幾何学

◆ 外部リンク

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