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実数(じっすう、real number)は、様々な量の連続的な変化を表す数の体系である。実数全体の空間は位相的にはとぎれのない完備性とよばれるよい性質を持ち、代数的には加減乗除ができるという体の構造を持っている。幾何学や解析学ではこれらのよい性質を利用して様々な対象が定義され、研究されている。一方でその構成方法に自明でない手続きが含まれるため、実数の空間は数学基礎論の観点からも興味深い性質を持っている。また、自然科学における連続的なものの計測値を表すのに十分な数の体系だとも考えられている。

実数の概念は(その形式的な定義が19世紀に達成される前から)ものの大きさを表す数の体系として陰に使われていて、「実数」という名前は複素数の概念が導入された後に「普通の数」を表す言葉として導入されたものである。

◆ 実数の表示

現代数学の体系において実数が定義されるときは節で述べるような、数の表示に直接依存しない方法が用いられるが、個々の実数を表すときは -1.13 や 3.141592... のような(無限)小数表示がよく用いられる。

また、実数の集まりを幾何学的に表示する方法として数直線があげられる。これは実数 0 に対応する原点とよばれる点を持った一つの直線で、直線上のそれぞれの点と原点との向きをこめた位置関係が各実数に対応している。

◆ 実数の様々な構成

実数の構成は有理数の空間 Q の完備化とよばれる手続きによる方法が一般的である。

有理数の空間には二つの数の差の絶対値として定義される距離 d(a, b) = |a - b| から定まる点の近さを考えることができる。これについてのコーシー列たちを適当な同値関係によって同一視した空間として R がえられる。こうして構成された実数の空間の中では、収束数列によって近似的に与えられる対象が実際に実数として存在している。また、Q 上の距離が代数構造と両立するようになっているので、R の上でも Q の代数構造をもとにした代数構造を考えることができる。

この完備化による定義の変種として、コーシー列たちの空間のかわりに長さがどんどん小さくなっていくような閉区間の列たちを適当な同値関係によって同一視したものを考えてもやはり実数を得ることができる。この考え方はより一般的で強力な手法であるフィルターの特別な例と見なすことができる。

有理数の集合 Q 上に通常の意味での大小関係を考えて、それをもとにした Q の分割のやりかた、として実数を定めることもでき、この方法は切断とよばれる。この考え方では実数 r に対して Q を と U_r = に分ける分け方が対応する。2の平方根のような無理数 r によって与えられる切断 U_r は有理数の範囲では最小の数を持たない。一方実数の範囲ではその定義からいつでも r が U_r の最小の数になっている。

より公理的な実数の特徴付けとして、極大順序体として R を特徴づける方法がある。この方法では、加減乗除が定まっている集合で、その代数構造と両立しているような順序関係を持ち、それを保ったままではこれ以上大きくできないようなものとして R が特徴付けられる。

◆ 論理学における実数

実数という数のクラスが初めてはっきりと取り出されたのはカントールによる集合の研究においてだった。彼は集合論的には実数の集合が有理数の集合からはっきりと区別されるべき大きさを持っている(実数の集合は可算でない)ことを示したが、次の問いとして実数の部分集合は(集合論的には)実数全体の集合か有理数集合の部分集合のどれかに同等になるといえるか、という問いをたてた。これは後になって連続体仮説とよばれ、結局通常用いられる集合論の体系からは(集合論自体が矛盾を含まないとすれば)証明も反証もできないことがわかった。

実数の体系の持つ超越的な性格は集合論の初期から様々な数学者の嫌悪の的となった。実数を定めるのに便利な集合論的定式化はやがて多くの数学者に受け入れられるようになったが、20世紀初めに論理学者のブラウワーは直観主義とよばれる、具体的に構成できるようなものだけを認める論理の体系をつくったが、彼はそこでは実数について通常の数学におけるものとは著しく異なった結論を導きだせることを示した。これには Kripke-Joyal の層の意味論によって現代的な解釈が与えられる。

◆ 解析学における実数

実数の完備性により、実数に値を持つ関数の範疇で様々な近似操作を考えることができ、微積分などが定義される。特定のクラスの関数たちに対して距離の概念などを用いて位相を考えると位相線形空間が得られる。こうして得られるものは多くの場合に無限次元であるが、考えている位相に関して完備になっている。関数解析学では、この概念を公理化した実数体上で考えられる完備位相線形空間とよばれる様々な空間が研究される。

位相空間上の関数やその積分の収束を考えるときは、問題にしている関数たちによって指定される位相空間の部分集合が重要になるが、こうして可測集合の概念が得られる。例えば実閉区間 [外部リンク] 1 上の関数を考えるときには一点集合 (0 ≤ t ≤ 1) や開集合を含んで、補集合をとったり可算個の合併について閉じていたりするような集合族を考えることになる。距離を持つコンパクト空間の可測集合のなす構造は、高々可算集合または閉区間 [外部リンク] 1 の構造に同型となることが知られている。

◆ 幾何学における実数

ウリゾーンの補題から正規空間とよばれる広いクラスの位相空間の位相構造(つまり、どの部分集合が開集合か)はその上の実数値連続関数のなす空間に完全に反映されていることがわかる。

ユークリッド空間は有限次元の実ベクトル空間にその構造と両立するような距離をあたえたものとして定式化される。実1次元ベクトル空間を平行移動したものが直線を示し、実2次元ベクトル空間を平行移動したものが平面を表していると見なせる。古典的なユークリッド幾何学は2次元や3次元のユークリッド空間とその構造を保つような変換についての研究だと解釈できる。

現代数学における図形の基本的な定式化の方法として多様体の概念が挙げられるが、これは局所的にはユークリッド空間のように見える「端切れ」を張り合わせたものとして定式化される。したがって多様体の点は局所的にはいくつかの実数の組による座標付けを持ち、多様体上の実数値関数について微分や積分を考えることが可能になる。

多様体は連続的なものとして定義されるので、その連続的な「時間発展」、「変化」、あるいは「変形」を考えることができるが、これはしばしば加法群 R の微分同相による作用と考えることができる。このような作用は力学系とよばれ、その類似として様々な分野でも R の作用が研究される。

◆ 代数学における実数

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